# تعیین میدان جریان در پدیده سقوط ذرات رسوب در آب نزدیک به سکون با استفاده از حل معادله برگر دو بعدی با روش تفاضل محدود کاملاً ضمنی

نوع مقاله : مقاله پژوهشی

نویسندگان

1 دانشجوی کارشناسی ارشد مهندسی عمران-سازه های هیدرولیکی، دانشکده مهندسی، دانشگاه خلیج فارس

2 دانشیار گروه مهندسی عمران-سازه های هیدرولیکی، دانشکده مهندسی، دانشگاه خلیج فارس

3 استادیار گروه مهندسی شیمی، دانشکده نفت و گاز، دانشگاه خلیج فارس

چکیده

فرایندهای فیزیکی، وابسته به پارامترهای مختلف می‌باشد که در زبان ریاضی با معادله مخصوص به خود مدل می‌شوند. از آنجایی که حل برخی از معادلات دیفرانسیل جزئی غیرخطی، چنان دشوار است که به دست آوردن جواب تحلیلی آن‌ها مگر در شرایط خاص امکان‌پذیر نمی‌باشد، این‌گونه معادلات را می‌توان با روش‌های عددی حل نمود. معادله مورد نظر در این تحقیق، معادله برگر در حالت دو بعدی غیرخطی وابسته به زمان است که پدیده سرعت سقوط ذره درون سیال راکد یا نزدیک به سکون مانند آب رسوب دار پشت یک سد را مدل می‌کند. در این تحقیق برای حل معادله برگر دو بعدی ابتدا این معادله با استفاده از روش تفاضل محدود کاملاً ضمنی که یک روش پایدار غیرشرطی است گسسته سازی شده و سپس برنامه نویسی شد. همچنین دقت نتایج حل معادله با روش عددی دیگر (روش المان محدود) مقایسه شده است که دلالت بر همخوانی روش ساده‌تر تفاضل محدود نسبت به روش پیچیده‌تر المان محدود دارد. نتایج عددی برای لزجت ها و زمان‌های متفاوت به دست آمده و نقش آن‌ها در سرعت سقوط ذره مورد بررسی پارامتریک قرار گرفته است. به‌طور کلی نتایج نشان داد که با افزایش لزجت و زمان، سرعت سقوط ذره کاهش می‌یابد. با افزایش زمان، مکان هندسی سرعت های ماکزیمم در جهت عمقی به کف بستر و در جهت طولی به سمت انتهای طول نزدیک‌تر شدند. همچنین سرعت عمقی منفی (جریان رو به بالا) به‌خصوص در لبه‌های نزدیک بستر مشاهده شد که نشان‌دهنده‌ی معلق بودن ذرات در بعضی از مکان ها و زمان ها می باشد.

کلیدواژه‌ها

عنوان مقاله [English]

### Determination of the flow field in the phenomenon of falling of sediment particles in near-stagnant water using the two-dimensional Burger equation solution with the fully implicit finite difference method

نویسندگان [English]

• Iman Rezaei 1
• M. V 2
• Hossein Rahideh 3
1 Civil Engineering Department, Persian Gulf University.
2 دانشیار گروه مهندسی عمران-سازه های هیدرولیکی، دانشکده مهندسی، دانشگاه خلیج فارس
3 Chemical Engineering Department, Persian Gulf University.
چکیده [English]

Physical processes are dependent on various parameters that are modeled in their mathematical language with their own equation. Since some nonlinear partial differential equations are so difficult to solve, hence obtain their analytical solution except in certain conditions is not possible and such equations can be solved numerically. The equation that is considered in this research is the Burger equation in time-dependent nonlinear two-dimensional mode, which models the phenomenon of velocity of falling of particle in the stagnant or near-stagnant fluid, such as sedimentary water behind a dam. In this research, first, this equation discretized using the fully implicit finite difference method to solve the two-dimensional Burger equation, which is an unconditional stable method, then it programmed. Also, the accuracy of the equation solution results with another numerical method (finite element method) is compared which implies the consistency of the simpler method of finite difference to the more complex method of finite element. Numerical results have been obtained for different viscosities and times, and their role in the particle velocity has been examined parametrically. Generally, the results showed that increasing viscosity and time, lead to decreasing in fall of the particle velocity. Within the increasing the time, locus of the maximum velocities approach to the bottom of the bed and the end of the length in the depth and longitudinal directions, respectively. Also, the negative depth velocity (upward flow) was observed, especially at the edges near the bed, indicating that the particles are suspended in some positions and times.

کلیدواژه‌ها [English]

• Partial differential equations
• Burger equation
• Finite difference method
• Velocity of falling of sediment particles
• Finite element method

#### مراجع

1)        Abdou M.A. and Soliman A.A. (2005) Variational iteration method for solving Burger's and coupled Burger's equations. J. comp. Appl. Math. 181, 245-251.
2)        Albeverio,S. Korshunova A. and Rozanova O. (1979) A probabilistic model associated with the pressureless gas dynamics. Bull. Sci. math. 137 351 -365.
3)        Arora G. and Singh B.K. (2013) Numerical solution of Burgers’ equation with modified cubic B-spline differential quadrature method. Applied Mathematics and Computation 224, 166-177.
4)        Arminjon P. and Beauchamp, C. (1979) Numerical Solution of Burgers’ equations in two space dimensions. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 19, 351-365.
5)        Bateman, H. (1915) Some recent researches on the motion of fluids. Monthly Weather Rev. 43, 163-170.
6)        Burger, J.M. (1948) A Mathematical Model Illustrating the Theory of Turbulence. Adv. in Appl. Mech. I, Academic Press, 171 -199.
7)        Burgers, J.M. (1939) Mathematical examples illustrating relations occurring in the theory of turbulent fluid motion. Trans. R. Neth. Acad. Sci. 17, 1-53.
8)        Diaz J.E., Ramirez J. and Villa J. (2011) The numerical solution of a generalized Burgers–Huxley equation through a conditionally bounded and symmetry-preserving method. Computers & Mathematics with Applications 61, 3330-3342.
9)        Haq, S. Islam S. and Uddin M. (2009) A mesh-free method for the numerical solution of the KdV–Burgers equation. Applied Mathematical Modelling 33, 3442-3449.
10)     Khater, A.H. Temsah R.S. and Hassan M.M. (2008) A Chebyshev spectral collocation method for solving Burgers’-type equations. Journal of Computational and Applied Mathematics 222, 333-350.
11)     Kofman L. and Rage A.C. (1992) Modeling structures of knots in jet flows with the Burgers equation. Astrophys. J. 390, 359–364.
12)     Rady A.S., Osman E.S. and Khalfallah M. (2010) Multi-soliton solution, rational solution of the Boussinesq–Burgers equations. commun. nonlinear sci. numer. simulat. 15, 1172-1176.
13)     Rizun, V.I. and Engel’Brekht, Iu. K. (1975) Application of the Burgers’equation with a variable coefficient to the study of nonplanar wave transients. PMM Vol39, Ng3, 551-554.
14)     Shu C. and Richards B.E. (1992) Application of generalized differential quadrature to solve two-dimensional incompressible Navier-Stoks equation. Numerical Methods in Fluids 15, 791 -798.
15)     Shukla H.S., Tamsir M., Srivastava K. and Kumar J. (2016) Numerical solution of two dimensional coupled viscous Burger equation using modified cubic B-spline differential quadrature method. AIP Advances 4, 117-134.
16)     Tasmir M. and Sirvastava V.K. (2011) A semi-implicit finite-difference approach for two-dimensional coupled Burgers’ equations. In. J. Sci. & Eng. Res. 2, 46-49.
17)     Vaghefi M., rahideh H., M.R. Golbahar Haghighi and A.K. khaksar (2012) Distributed Approximating Functional Approach to Burgers’ Equation using Element Differential Quadrature Method. J.Appl. Sci. Environ. Manage. 16, 143-149.
18)     Watanabe,S. Ishiwata,S. Kawamura K. and Oh H.G. (1997) Higher order solution of nonlinear waves. II. Shock wave described by Burgers equation. J. Phys. Soc. Jpn. 66 984–987.
19)     Wazwaz A.M. (2014) A study on a (2+ 1)-diensional and a (3+ 1)-dimensional generalized Burgers equation. Applied Mathematics Letters 31, 41-45.
20)     Wei G.W., Zhang D.S., Kouri D.J. and Hoffman D.K. (1998) Distributed approximating Functional approach to Burgers’ equation in one and two space dimentions. Computer Physics Communications 111, 93 - 109.
21)     Zaki, S.I. (2000) A quintic B-spline finite elements scheme for the KdVB equation.   Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 188, 121-134.
22)     Zhanlav, T. Chuluunbaatar O. and Ulziibayar V. (2015) Higher-order accurate numerical solution of unsteady Burgers’ equation. Applied Mathematics and Computation 250, 701-707.
23)     Zheng,Q. Zhao X. and Liu Y. (2017) A novel finite difference scheme for Burgers' equation on unbounded domains. Applied Numerical Mathematics 111, 1-16.